Qu'est-ce que développement limité ?

Développement Limité

Le développement limité est un outil mathématique fondamental permettant d'approximer une fonction au voisinage d'un point donné. Il consiste à représenter la fonction par un polynôme dont les coefficients sont calculés à partir des dérivées de la fonction en ce point. Plus on prend de termes dans le polynôme, plus l'approximation est précise.

Concepts Clés :

• Définition du Développement Limité : L'expression formelle et les conditions d'existence.

• Ordre du Développement Limité : Le degré du polynôme utilisé dans l'approximation. Un ordre plus élevé offre une meilleure précision.

• Point Autour Duquel On Développe : Le point 'a' autour duquel la fonction est approximée. Le développement limité est valide seulement au voisinage de ce point.

• Formule de Taylor-Young : La formule centrale permettant de calculer les coefficients du polynôme du développement limité.

• Rest de Peano : Un terme représentant l'erreur commise lors de l'approximation par le polynôme. Il indique la vitesse à laquelle l'erreur tend vers zéro lorsque l'on se rapproche du point autour duquel on développe.

• Opérations sur les Développements Limités : Comment effectuer des opérations algébriques (addition, multiplication, division) sur les développements limités.

• Développements Limités Usuels : Les développements limités des fonctions de base (exponentielle, logarithme, sinus, cosinus, etc.) à connaître.

Applications :

• Calcul de limites indéterminées.
• Étude locale des fonctions.
• Approximation de fonctions complexes.
• Résolution approchée d'équations.

Limites :

• Valide uniquement au voisinage du point autour duquel on développe.
• Nécessite la connaissance des dérivées de la fonction.